Číselné sústavy

Číselný systém je súbor pravidiel na reprezentáciu čísel pomocou rôznych číselných znakov. Číselné sústavy sú rozdelené do dvoch typov: nepozičné a pozičné.

V pozičných číselných sústavách hodnota každej číslice nezávisí od pozície, ktorú zaujíma, teda od miesta, ktoré zaberá v množine číslic. V rímskom číselnom systéme je iba sedem číslic: jedna (I), päť (V), desať (X), päťdesiat (L), sto (C), päťsto (D), tisíc (M). Pomocou týchto čísel (symbolov) sa zvyšné čísla zapíšu sčítaním a odčítaním. Napríklad IV je zápis čísla 4 (V — I), VI je číslo 6 (V + I) atď. Číslo 666 je v rímskom systéme zapísané takto: DCLXVI.

Tento zápis je menej vhodný ako ten, ktorý v súčasnosti používame. Tu je šesť napísaných jedným symbolom (VI), šesť desiatok iným (LX), šesťsto tretí (DC). Je veľmi ťažké vykonávať aritmetické operácie s číslami zapísanými v rímskej číselnej sústave. Spoločnou nevýhodou nepozičných systémov je tiež zložitosť reprezentácie dostatočne veľkých čísel v nich, takže výsledkom je extrémne ťažkopádny zápis.

Teraz zvážte rovnaké číslo 666 v pozičnom číselnom systéme. Jednotné znamienko 6 v ňom znamená počet jednotiek, ak je na poslednom mieste, počet desiatok, ak je na predposlednom mieste, a počet stoviek, ak je na treťom mieste od konca. Tento princíp zápisu čísel sa nazýva pozičný (lokálny). V takejto nahrávke každá číslica dostáva číselnú hodnotu v závislosti nielen od jej štýlu, ale aj od toho, kde sa nachádza, keď je číslo napísané.

V pozičnom číselnom systéme môže byť akékoľvek číslo reprezentované ako A = +a1a2a3 ... ann-1an reprezentované ako súčet

kde n — konečný počet číslic v obraze čísla, ii číslo i-go číslica, d — základ číselnej sústavy, i — poradové číslo kategórie, dm-i — „váha“ kategórie i-ro . Číslice ai musia spĺňať nerovnosť 0 <= a <= (d — 1).

V prípade desatinného zápisu d = 10 a ai = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Keďže čísla pozostávajúce z jednotiek a núl možno vnímať ako desiatkové alebo binárne čísla, keď sa používajú spolu, základ číselnej sústavy sa zvyčajne označuje, napríklad (1100)2-binárne, (1100)10-desatinné.

V digitálnych počítačoch sú široko používané iné systémy ako desiatkové: binárne, osmičkové a hexadecimálne.

Binárny systém

Pre tento systém d = 2 a tu sú povolené iba dve číslice, t. j. ai = 0 alebo 1.

Akékoľvek číslo vyjadrené v dvojkovej sústave je reprezentované ako súčet súčinu mocniny základu dvojnásobku dvojkovej číslice daného bitu. Napríklad číslo 101,01 možno zapísať takto: 101,01 = 1×22 + 0x21 + 1×20 + 0x2-1 + 1×2-2, čo zodpovedá číslu v desiatkovej sústave: 4 + 1 + 0,25 = 5.25.

Vo väčšine moderných digitálnych počítačov sa binárny číselný systém používa na reprezentáciu čísel v stroji a na vykonávanie aritmetických operácií s nimi.

Binárna číselná sústava oproti desiatkovej umožňuje zjednodušiť obvody a obvody aritmetického zariadenia a pamäťového zariadenia a zvýšiť spoľahlivosť počítača. Číslicu každého bitu binárneho čísla predstavujú stavy «zapnuté / vypnuté» prvkov, ako sú tranzistory, diódy, ktoré spoľahlivo fungujú v stavoch «zapnuté / vypnuté». K nevýhodám dvojkovej sústavy patrí nutnosť previesť podľa špeciálneho programu pôvodné digitálne dáta do dvojkovej číselnej sústavy a výsledky rozhodnutia do desiatkovej sústavy.

Osmičková číselná sústava

Tento systém má základ d == 8. Na vyjadrenie čísel sa používajú čísla: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Osmičková číselná sústava sa používa v počítači ako pomôcka pri príprave problémov na riešenie (v procese programovania), pri kontrole činnosti stroja a pri ladení programu. Tento systém poskytuje kratšiu reprezentáciu čísla ako binárny systém. Osmičková číselná sústava umožňuje jednoduchý prechod do dvojkovej sústavy.

Hexadecimálna číselná sústava

Tento systém má základ d = 16. Na vyjadrenie čísel sa používa 16 znakov: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F a znaky A … F predstavujú desiatkové čísla 10, 11, 12, 13, 14 a 15. Šestnástkové číslo (1D4F) 18 bude zodpovedať desiatkovej 7503, pretože (1D4F)18 = 1 x 163 + 13 x 162 + 14 x 161+ 15 x 160 = (7503)10

Hexadecimálny zápis umožňuje písať binárne čísla kompaktnejšie ako osmičkové. Nájde uplatnenie vo vstupných a výstupných zariadeniach a zariadeniach na zobrazenie poradia čísel niektorých počítačov.

Binárno-desiatková číselná sústava

Reprezentácia čísel v dvojkovej sústave je nasledovná. Za základ sa berie desiatkový zápis čísla a potom sa každá jeho číslica (od 0 do 9) zapíše vo forme štvormiestneho binárneho čísla nazývaného tetráda, to znamená, že na vyjadrenie sa nepoužíva ani jedno znamienko. každá číslica desiatkovej sústavy, ale štyri.

Napríklad desiatkové číslo 647,59 by zodpovedalo BCD 0110 0100 0111, 0101 1001.

Systém binárnych a desiatkových čísel sa používa ako medziľahlý číselný systém a na kódovanie vstupných a výstupných čísel.

Pravidlá pre prenos jedného číselného systému do druhého

Výmena informácií medzi počítačovými zariadeniami sa uskutočňuje najmä prostredníctvom čísel reprezentovaných v binárnom číselnom systéme. Informácie sú však používateľovi prezentované v číslach v desiatkovej sústave a adresovanie príkazov je prezentované v osmičkovej sústave. Preto je potrebné prenášať čísla z jedného systému do druhého v procese práce s počítačom. Ak to chcete urobiť, použite nasledujúce všeobecné pravidlo.

Na prevod celého čísla z ľubovoľnej číselnej sústavy do inej je potrebné toto číslo postupne deliť základom novej sústavy, až kým podiel nie je menší ako deliteľ. Číslo v novom systéme musí byť zapísané vo forme zvyškov delenia, počnúc posledným, to znamená sprava doľava.

Napríklad skonvertujme desiatkové číslo 1987 na binárne:

Desatinné číslo 1987 v binárnom formáte je 11111000011, t.j. (1987)10 = (11111000011)2

Pri prechode z ľubovoľnej sústavy na desiatkovú sa číslo znázorní ako súčet mocnín základu s príslušnými koeficientmi a následne sa vypočíta hodnota súčtu.

Prevedieme napríklad osmičkové číslo 123 na desiatkové: (123)8 = 1 x 82 + 2 x 81 + 3 x 80 = 64 + 16 + 3 = 83, t.j. (123)8 = (83)10

Na prenos zlomkovej časti čísla z akéhokoľvek systému do iného je potrebné vykonať postupné násobenie tohto zlomku a výsledných zlomkových častí súčinu na základe nového číselného systému. Zlomková časť čísla v novom systéme je tvorená vo forme celých častí výsledných produktov, počnúc od prvej. Proces násobenia pokračuje, kým sa nevypočíta číslo s danou presnosťou.

Napríklad, skonvertujme desatinný zlomok 0,65625 na binárnu číselnú sústavu:

Keďže zlomková časť piateho súčinu pozostáva iba z núl, ďalšie násobenie je zbytočné. To znamená, že daná desiatka sa prevedie do binárnej sústavy bez chyby, t.j. (0,65625)10 = (0,10101)2.

Prevod z osmičkovej a šestnástkovej sústavy do dvojkovej sústavy a naopak nie je náročný. Je to preto, že ich základy (d – 8 a d – 16) zodpovedajú celým číslam dvoch (23 = 8 a 24 = 16).

Na prevod osmičkových alebo hexadecimálnych čísel na binárne stačí nahradiť každé ich číslo troj- alebo štvorciferným binárnym číslom.

Preložme si napríklad osmičkové číslo (571)8 a hexadecimálne číslo (179)16 do dvojkovej číselnej sústavy.

V oboch prípadoch dostaneme rovnaký výsledok, t.j. (571)8 = (179)16 = (101111001)2

Ak chcete previesť číslo z dvojkovej sústavy na desiatkovú, musíte nahradiť každú tetrádu čísla v dvojkovej sústave číslicou reprezentovanou v desiatkovej sústave.

Napríklad číslo (0010 0001 1000, 0110 0001 0110)2-10 napíšme v desiatkovom zápise, t.j. (0010 0001 1000, 0110 0001 0110) 2-10 = (218 625)