Prečo sa na výpočty v obvodoch striedavého prúdu používajú komplexné čísla

Ako viete, komplexné čísla sa používajú na riešenie niektorých typických problémov v elektrotechnike. Ale na čo slúžia a prečo sa to robí práve takto? To je to, čo sa pokúsime pochopiť v priebehu tohto článku. Faktom je, že komplexná metóda alebo metóda komplexných amplitúd je vhodná na výpočet zložitých obvodov striedavého prúdu. A na začiatok si pripomeňme niektoré základy matematiky:

Ako vidíte, komplexné číslo z zahŕňa imaginárnu časť a skutočnú časť, ktoré sa navzájom líšia a sú v texte označené inak. Samotné komplexné číslo z možno zapísať v algebraickej, trigonometrickej alebo exponenciálnej forme:

Historické pozadie

Predpokladá sa, že myšlienka imaginárnych čísel začala v roku 1545, keď taliansky matematik, inžinier, filozof, lekár a astrológ Girolamo Cardano publikoval túto metódu riešenia rovníc vo svojom pojednaní „Veľké umenie“, kde okrem iného , priznal, že Niccolò mu dal nápad Tartagliovi (talianskemu matematikovi) 6 rokov pred vydaním tohto diela. Kradano vo svojej práci rieši rovnice tvaru:

V procese riešenia týchto rovníc bol vedec prinútený pripustiť existenciu nejakého „nereálneho“ čísla, ktorého druhá mocnina sa bude rovnať mínus jednej „-1“, to znamená, ako keby existovala druhá odmocnina z a záporné číslo, a ak je teraz odmocnené, ukáže sa, že je to zodpovedajúce záporné číslo pod odmocninou. Cardano uviedol pravidlo násobenia, podľa ktorého:

Po tri storočia bola matematická komunita v procese zvykania si na nový prístup, ktorý navrhol Cardano. Imaginárne čísla sa postupne udomácňujú, no matematici sa zdráhajú akceptovať. Až po publikácii Gaussových prác o algebre, kde dokázal základnú vetu algebry, boli komplexné čísla konečne plne akceptované, 19. storočie bolo na dosah ruky.

Imaginárne čísla sa stali skutočným záchrancom pre matematikov, pretože najzložitejšie problémy sa oveľa ľahšie riešili akceptovaním existencie imaginárnych čísel.

Čoskoro teda prišlo na elektrotechniku. Obvody striedavého prúdu boli niekedy veľmi zložité a na ich výpočet bolo potrebné vypočítať veľa integrálov, čo bolo často veľmi nepohodlné.

Napokon v roku 1893 vystúpil v Chicagu na medzinárodnom elektrotechnickom kongrese geniálny elektrotechnik Carl August Steinmetz so správou „Komplexné čísla a ich aplikácia v elektrotechnike“, ktorá v skutočnosti znamenala začiatok praktickej aplikácie inžinierov komplexnej metódy tzv. výpočet elektrických obvodov pre striedavý prúd.

Poznáme to z kurzu fyziky striedavý prúd — ide o prúd, ktorý sa časom mení vo veľkosti aj smere.

V technike existujú rôzne formy striedavého prúdu, ale najbežnejší je dnes striedavý sínusový prúd, ten sa všade používa, pomocou ktorého sa prenáša elektrina vo forme striedavého prúdu, ktorý vzniká, premieňa transformátory a je spotrebovaný záťažami. Sínusový prúd sa periodicky mení podľa sínusového (harmonického) zákona.

Efektívne hodnoty prúdu a napätia sú menšie ako hodnoty amplitúdy odmocniny dvoch časov:

V komplexnej metóde sú efektívne hodnoty prúdov a napätí zapísané takto:

Všimnite si, že v elektrotechnike sa imaginárna jednotka označuje písmenom «j», keďže písmeno «i» sa tu už používa na označenie prúdu.

Od Ohmov zákon určuje komplexnú hodnotu odporu:

Sčítanie a odčítanie komplexných hodnôt sa vykonáva v algebraickej forme a násobenie a delenie v exponenciálnej forme.

Uvažujme o metóde komplexných amplitúd na príklade konkrétneho obvodu s určitými hodnotami hlavných parametrov.

Príklad riešenia úlohy pomocou komplexných čísel

Vzhľadom na to:

• napätie cievky 50 V,

• odpor odporu 25 Ohm,

• indukčnosť cievky 500 mH,

• elektrická kapacita kondenzátora je 30 mikrofaradov,

• odpor cievky 10 Ohm,

• frekvencia siete 50 Hz.

Nájdite: hodnoty ampérmetra a voltmetra, ako aj wattmeter.

odpoveď:

Na začiatok si zapíšeme komplexný odpor sériovo zapojených prvkov, ktorý pozostáva z reálnych a imaginárnych častí, potom nájdeme komplexný odpor aktívneho indukčného prvku.

Spomínam si! Ak chcete získať exponenciálny tvar, nájdite modul z rovný druhej odmocnine súčtu druhých mocnín reálnej a imaginárnej časti a fí rovný arkustangensu podielu imaginárnej časti delenej reálnou časťou.

Potom nájdeme prúd a podľa toho aj hodnoty ampérmetra:

Takže ampérmeter ukazuje prúd 0,317 A - to je prúd cez celý sériový obvod.

Teraz nájdeme kapacitný odpor kondenzátora, potom určíme jeho komplexný odpor:

Potom vypočítame celkovú komplexnú impedanciu tohto obvodu:

Teraz nájdeme efektívne napätie aplikované na obvod:

Voltmeter ukáže efektívne napätie 19,5 voltov.

Nakoniec nájdeme výkon, ktorý wattmeter zobrazí, berúc do úvahy fázový rozdiel medzi prúdom a napätím

Wattmeter ukáže 3,51 wattu.

Teraz chápete, aké dôležité sú komplexné čísla v elektrotechnike. Používajú sa na pohodlný výpočet elektrických obvodov. Mnohé elektronické meracie zariadenia fungujú na rovnakom základe.