Biot-Savartov zákon a veta o cirkulácii vektora magnetickej indukcie

V roku 1820 francúzski vedci Jean-Baptiste Biot a Félix Savard v priebehu spoločných experimentov na štúdium magnetických polí jednosmerných prúdov jednoznačne zistili, že magnetickú indukciu jednosmerného prúdu pretekajúceho vodičom možno považovať za výsledok tzv. všeobecné pôsobenie všetkých sekcií tohto drôtu prúdom. To znamená, že magnetické pole sa riadi princípom superpozície (princíp superpozície polí).

Magnetické pole vytvorené skupinou jednosmerných vodičov má nasledovné magnetická indukciaže jeho hodnota je definovaná ako vektorový súčet magnetických indukcií vytvorených každým vodičom zvlášť. To znamená, že indukciu B vodiča jednosmerného prúdu možno spravodlivo znázorniť vektorovým súčtom elementárnych indukcií dB prislúchajúcich k elementárnym úsekom dl uvažovaného vodiča jednosmerného prúdu I.

Izolovať elementárny úsek vodiča jednosmerného prúdu je prakticky nereálne, pretože D.C. vždy zatvorené.Môžete však zmerať celkovú magnetickú indukciu vytvorenú drôtom, to znamená, že je generovaná všetkými elementárnymi časťami daného drôtu.

Biot-Sovarov zákon teda umožňuje nájsť hodnotu magnetickej indukcie B úseku (známa dĺžka dl) vodiča, pri danom jednosmernom prúde I, v určitej vzdialenosti r od tohto úseku vodiča a v a určitý smer pozorovania z vybraného úseku (nastavený cez sínus uhla medzi smerom prúdu a smerom od úseku vodiča k skúmanému bodu v priestore pri vodiči):

Experimentálne sa zistilo, že smer vektora magnetickej indukcie je ľahko určený pravidlom pravej skrutky alebo kardanu: ak sa smer translačného pohybu kardanu počas jeho otáčania zhoduje so smerom jednosmerného prúdu I v drôte, potom smer otáčania kardanovej rukoväte určuje smer vektora magnetickej indukcie B produkovaného daným prúdom.

Magnetické pole priameho vodiča s prúdom, ako aj ilustrácia aplikácie Bio-Savartovho zákona naň, sú znázornené na obrázku:

Ak teda integrujeme, teda sčítame, príspevok každého z malých úsekov vodiča konštantného prúdu k celkovému magnetickému poľu, dostaneme vzorec na nájdenie magnetickej indukcie vodiča prúdu pri určitom polomere R z neho. .

Rovnakým spôsobom pomocou Bio-Savardovho zákona môžete vypočítať magnetické indukcie z jednosmerných prúdov rôznych konfigurácií a v určitých bodoch v priestore, napríklad magnetickú indukciu v strede kruhového obvodu s prúdom nájde nasledujúci vzorec:

Smer vektora magnetickej indukcie sa dá ľahko nájsť podľa pravidla gimbal, len teraz sa gimbal musí otáčať v smere uzavretého prúdu a pohyb gimbalu dopredu ukáže smer vektora magnetickej indukcie.

Výpočty vzhľadom na magnetické pole sa často dajú zjednodušiť, ak vezmeme do úvahy symetriu konfigurácie prúdov danú generujúcim poľom. Tu môžete použiť vetu o cirkulácii vektora magnetickej indukcie (ako Gaussova veta v elektrostatike). Čo je „cirkulácia vektora magnetickej indukcie“?

Vyberme si v priestore určitú uzavretú slučku ľubovoľného tvaru a podmienečne naznačme kladný smer jej pohybu Pre každý bod tejto slučky môžeme nájsť priemet vektora magnetickej indukcie B na dotyčnicu k slučke v tomto bode. Potom súčet súčinov týchto veličín elementárnymi dĺžkami všetkých úsekov obrysu je cirkulácia vektora magnetickej indukcie B pozdĺž tohto obrysu:

Prakticky všetky prúdy, ktoré tu vytvárajú všeobecné magnetické pole, môžu buď preniknúť do uvažovaného obvodu, alebo niektoré z nich môžu byť mimo neho. Podľa cirkulačnej vety: cirkulácia vektora magnetickej indukcie B jednosmerných prúdov v uzavretej slučke sa číselne rovná súčinu magnetickej konštanty mu0 súčtom všetkých jednosmerných prúdov, ktoré prechádzajú slučkou. Túto vetu sformuloval Andre Marie Ampere v roku 1826:

Zvážte obrázok vyššie. Tu prúdy I1 a I2 prenikajú do obvodu, ale sú nasmerované rôznymi smermi, čo znamená, že majú podmienene odlišné znaky.Kladné znamienko bude mať prúd, ktorého smer magnetickej indukcie (podľa základného pravidla) sa zhoduje so smerom premostenia zvoleného obvodu. Pre túto situáciu má cirkulačný teorém tvar:

Vo všeobecnosti veta pre cirkuláciu vektora magnetickej indukcie B vyplýva z princípu superpozície magnetického poľa a Biot-Savardovho zákona.

Napríklad odvodíme vzorec pre magnetickú indukciu vodiča jednosmerného prúdu. Zvolíme si obrys v tvare kruhu, cez ktorého stred tento drôt prechádza a drôt je kolmý na rovinu obrysu.

Stred kruhu teda leží priamo v strede vodiča, teda vo vodiči. Keďže je obrázok symetrický, vektor B smeruje tangenciálne ku kružnici a jeho priemet na dotyčnicu je teda všade rovnaký a rovná sa dĺžke vektora B. Cirkulačná veta je napísaná takto:

Preto nasleduje vzorec pre magnetickú indukciu priameho vodiča s jednosmerným prúdom (tento vzorec už bol uvedený vyššie). Podobne pomocou cirkulačnej vety je možné ľahko nájsť magnetické indukcie symetrických jednosmerných konfigurácií, kde je možné ľahko vizualizovať obraz siločiar.

Jedným z prakticky dôležitých príkladov aplikácie cirkulačnej vety je nájdenie magnetického poľa vo vnútri toroidného induktora.

Predpokladajme, že na kartónovom ráme v tvare šišky je navinutá toroidná cievka s počtom závitov N. V tejto konfigurácii sú magnetické indukčné čiary uzavreté vo vnútri prstenca a majú sústredné (v sebe navzájom) kruhy v tvare .

Ak sa pozriete v smere vektora magnetickej indukcie pozdĺž vnútornej osi šišky, ukáže sa, že prúd smeruje všade v smere hodinových ručičiek (podľa kardanového pravidla). Uvažujme jednu z čiar (zobrazená červenou farbou) magnetickej indukcie vo vnútri cievky a vyberte ju ako kruhovú slučku s polomerom r. Potom je cirkulačná veta pre daný obvod napísaná takto:

A magnetická indukcia poľa vo vnútri cievky sa bude rovnať:

Pre tenkú toroidnú cievku, kde je magnetické pole takmer rovnomerné po celom svojom priereze, je možné zapísať výraz pre magnetickú indukciu ako pre nekonečne dlhý solenoid, berúc do úvahy počet závitov na jednotku dĺžky — n :

Zvážte teraz nekonečne dlhý solenoid, kde je magnetické pole úplne vo vnútri. Na vybraný pravouhlý obrys aplikujeme cirkulačnú vetu.

Tu vektor magnetickej indukcie poskytne nenulovú projekciu iba na strane 2 (jej dĺžka sa rovná L). Pomocou parametra n — «počet závitov na jednotku dĺžky» dostaneme takú formu cirkulačnej vety, ktorá sa v konečnom dôsledku zredukuje na rovnakú formu ako pre multitonCoyovu toroidnú cievku: