Symbolická metóda na výpočet obvodov striedavého prúdu

Symbolická metóda operácií s vektorovými veličinami je založená na veľmi jednoduchej myšlienke: každý vektor sa rozloží na dve zložky: jednu horizontálnu, ktorá prechádza pozdĺž úsečky, a druhú, vertikálnu, ktorá prechádza pozdĺž ordináty. V tomto prípade všetky horizontálne zložky sledujú priamku a možno ich sčítať jednoduchým algebraickým sčítaním a zvislé zložky sa pridávajú rovnakým spôsobom.

Tento prístup vo všeobecnosti vedie k dvom výsledným komponentom, horizontálnej a vertikálnej, ktoré sú vždy vedľa seba v rovnakom uhle 90°.

Tieto komponenty možno použiť na nájdenie výsledku, teda na geometrické sčítanie. Pravouhlé zložky predstavujú ramená pravouhlého trojuholníka a ich geometrický súčet predstavuje preponu.

Môžete tiež povedať, že geometrický súčet sa číselne rovná uhlopriečke rovnobežníka postaveného na komponentoch aj na jeho stranách... Ak je horizontálna zložka označená AG a vertikálna zložka AB, potom geometrický súčet ( 1)

Nájsť geometrický súčet pravouhlých trojuholníkov je oveľa jednoduchšie ako šikmé trojuholníky. Je ľahké vidieť, že (2)

sa zmení na (1), ak je uhol medzi komponentmi 90°. Keďže cos 90 = 0, posledný člen v radikálovom výraze (2) zmizne, v dôsledku čoho sa výraz výrazne zjednoduší. Upozorňujeme, že pred slovo „súčet“ je potrebné pridať jedno z troch slov: „aritmetický“, „algebraický“, „geometrický“.

Obr. 1.

Slovo „suma“ bez špecifikácie vedie k neistote a v niektorých prípadoch k hrubým chybám.

Pripomeňme, že výsledný vektor sa rovná aritmetickému súčtu vektorov v prípade, že všetky vektory idú po priamke (alebo rovnobežne) v rovnakom smere. Okrem toho majú všetky vektory znamienko plus (obr. 1, a).

Ak vektory idú po priamke, ale smerujú opačnými smermi, potom sa ich výsledok rovná algebraickému súčtu vektorov, v takom prípade majú niektoré členy znamienko plus a iné znamienko mínus.

Napríklad v diagrame na obr. 1, b U6 = U4 — U5. Môžeme tiež povedať, že aritmetický súčet sa používa v prípadoch, keď je uhol medzi vektormi nulový, algebraický, keď sú uhly 0 a 180 °. Vo všetkých ostatných prípadoch sa sčítanie uskutočňuje vektorovo, to znamená, že sa určí geometrický súčet (obr. 1, c).

Príklad... Určte parametre ekvivalentnej sínusoidy pre obvod Obr. 2, ale symbolický.

Odpoveď. Nakreslíme vektory Um1 Um2 a rozložíme ich na zložky. Z výkresu je zrejmé, že každá horizontálna zložka je vektorová hodnota vynásobená kosínusom fázového uhla a vertikála je vektorová hodnota vynásobená sínusom fázového uhla. Potom

Obr. 2.

Je zrejmé, že celkové horizontálne a vertikálne zložky sa rovnajú algebraickým súčtom zodpovedajúcich zložiek. Potom

Výsledné komponenty sú znázornené na obr. 2, b. Určte na to hodnotu Um, vypočítajte geometrický súčet dvoch zložiek:

Určte ekvivalentný fázový uhol ψeq. Obr. 2, b je vidieť, že pomer vertikálnej k horizontálnej zložke je tangens ekvivalentného fázového uhla.

kde

Takto získaná sínusoida má amplitúdu 22,4 V, počiatočnú fázu 33,5 ° s rovnakou periódou ako komponenty. Všimnite si, že možno pridať iba sínusové vlny rovnakej frekvencie, pretože pri pridávaní sínusových kriviek rôznych frekvencií výsledná krivka prestáva byť sínusová a všetky koncepty použiteľné len pre harmonické signály sa v tomto prípade stávajú neplatnými.

Vráťme sa ešte raz k celému reťazcu transformácií, ktoré je potrebné vykonať pomocou matematických opisov harmonických priebehov pri vykonávaní rôznych výpočtov.

Najprv sa časové funkcie nahradia vektorovými obrázkami, potom sa každý vektor rozloží na dve navzájom kolmé zložky, potom sa samostatne vypočítajú horizontálne a vertikálne zložky a nakoniec sa určia hodnoty výsledného vektora a jeho počiatočná fáza.

Tento spôsob výpočtu eliminuje potrebu graficky pridávať (a v niektorých prípadoch vykonávať zložitejšie operácie, napríklad násobiť, deliť, extrahovať korene atď.) sínusové krivky a uchýliť sa k výpočtom pomocou vzorcov šikmých trojuholníkov.

Je však dosť ťažkopádne samostatne vypočítať horizontálnu a vertikálnu zložku operácie.Pri takýchto výpočtoch je veľmi výhodné mať taký matematický aparát, pomocou ktorého môžete vypočítať obe zložky naraz.

Už koncom minulého storočia bola vyvinutá metóda, ktorá umožňuje simultánne výpočty čísel vynesených na vzájomne kolmých osiach. Čísla na vodorovnej osi sa nazývali skutočné a čísla na zvislej osi imaginárne. Pri výpočte týchto čísel sa k reálnym číslam pripočíta faktor ± 1 a k imaginárnym číslam ± j (čítaj „xi“). Čísla pozostávajúce z reálnych a imaginárnych častí sa nazývajú komplexné, a spôsob výpočtov vykonaných s ich pomocou je symbolický.

Vysvetlime si pojem „symbolický“. Funkcie, ktoré sa majú vypočítať (v tomto prípade harmonické), sú originály a výrazy, ktoré nahrádzajú originály, sú obrázky alebo symboly.

Pri použití symbolickej metódy sa všetky výpočty nevykonávajú na samotných origináloch, ale na ich symboloch (obrázkoch), ktoré v našom prípade predstavujú zodpovedajúce komplexné čísla, pretože je oveľa jednoduchšie vykonávať operácie s obrázkami ako so samotnými originálmi.

Po dokončení všetkých operácií s obrázkom sa na výsledný obrázok zaznamená originál zodpovedajúci výslednému obrázku. Väčšina výpočtov v elektrických obvodoch sa vykonáva pomocou symbolickej metódy.