Maxwellove rovnice pre elektromagnetické pole - základné zákony elektrodynamiky
Systém Maxwellových rovníc vďačí za svoj názov a vzhľad Jamesovi Clerkovi Maxwellovi, ktorý tieto rovnice sformuloval a napísal koncom 19. storočia.
Maxwell James Clark (1831 - 1879) je slávny britský fyzik a matematik, profesor na University of Cambridge v Anglicku.
Prakticky spojil vo svojich rovniciach všetky experimentálne výsledky získané v tom čase o elektrine a magnetizme a dal zákonom elektromagnetizmu jasnú matematickú podobu. Základné zákony elektrodynamiky (Maxwellove rovnice) boli sformulované v roku 1873.
Maxwell rozvinul Faradayovu doktrínu elektromagnetického poľa do koherentnej matematickej teórie, z ktorej vyplýva možnosť šírenia vĺn elektromagnetických procesov. Ukázalo sa, že rýchlosť šírenia elektromagnetických procesov sa rovná rýchlosti svetla (ktorého hodnota bola známa už z experimentov).
Táto náhoda slúžila Maxwellovi ako základ na vyjadrenie myšlienky spoločnej povahy elektromagnetických a svetelných javov, t.j. o elektromagnetickej povahe svetla.
Teória elektromagnetických javov, ktorú vytvoril James Maxwell, našla svoje prvé potvrdenie v experimentoch Hertza, ktorý ako prvý získal elektromagnetické vlny.
V dôsledku toho tieto rovnice hrali dôležitú úlohu pri vytváraní presných reprezentácií klasickej elektrodynamiky. Maxwellove rovnice môžu byť napísané v diferenciálnej alebo integrálnej forme. V praxi suchým jazykom matematiky opisujú elektromagnetické pole a jeho vzťah k elektrickým nábojom a prúdom vo vákuu a v spojitých médiách. K týmto rovniciam môžete pridať výraz pre Lorentzovu silu, v takom prípade dostaneme kompletný systém rovníc klasickej elektrodynamiky.
Aby sme pochopili niektoré matematické symboly používané v diferenciálnych formách Maxwellových rovníc, definujme najprv takú zaujímavú vec, ako je operátor nabla.
Operátor Nabla (alebo operátor Hamilton) Je to vektorový diferenciálny operátor, ktorého zložky sú čiastočné derivácie vzhľadom na súradnice. Pre náš reálny priestor, ktorý je trojrozmerný, je vhodný pravouhlý súradnicový systém, pre ktorý je operátor nabla definovaný nasledovne:
kde i, ja k sú jednotkové súradnicové vektory
Operátor nabla, keď sa aplikuje na pole nejakým matematickým spôsobom, dáva tri možné kombinácie. Tieto kombinácie sa nazývajú:
Gradient — vektor, ktorého smer udáva smer najväčšieho nárastu určitého množstva, ktorého hodnota sa mení z jedného bodu v priestore do druhého (skalárne pole) a čo do veľkosti (modulu) sa rovná rýchlosti rastu tohto množstvo v tomto smere.
Divergencia (divergencia) — diferenciálny operátor, ktorý mapuje vektorové pole na skalárne (to znamená, že ako výsledok aplikovania operácie diferenciácie na vektorové pole sa získa skalárne pole), ktorý určuje (pre každý bod) „koľko pole vstupuje a opúšťa malé okolie daného bodu sa rozchádza “, presnejšie ako rozdielne sú prítoky a odtoky.
Rotor (vír, rotácia) je vektorový diferenciálny operátor nad vektorovým poľom.
Teraz premýšľajte rovno Maxwellove rovnice v integrálnom (vľavo) a diferenciálnom (vpravo) tvareobsahujúce základné zákony elektrických a magnetických polí vrátane elektromagnetickej indukcie.
Integrálna forma: cirkulácia vektora intenzity elektrického poľa pozdĺž ľubovoľnej uzavretej slučky je priamo úmerná rýchlosti zmeny magnetického toku cez oblasť ohraničenú touto slučkou.
Diferenciálna forma: každá zmena magnetického poľa vytvára vírivé elektrické pole úmerné rýchlosti zmeny indukcie magnetického poľa.
Fyzikálny význam: akákoľvek zmena magnetického poľa v priebehu času spôsobuje vznik vírivého elektrického poľa.
Integrálna forma: indukčný tok magnetického poľa cez ľubovoľný uzavretý povrch je nulový. To znamená, že v prírode neexistujú žiadne magnetické náboje.
Diferenciálna forma: tok siločiar indukcie magnetického poľa s nekonečným elementárnym objemom sa rovná nule, pretože pole je vírivé.
Fyzikálny význam: v prírode neexistujú zdroje magnetického poľa vo forme magnetických nábojov.
Integrálna forma: cirkulácia vektora intenzity magnetického poľa pozdĺž ľubovoľnej uzavretej slučky je priamo úmerná celkovému prúdu prechádzajúcemu povrchom pokrytým touto slučkou.
Diferenciálna forma: Vírivé magnetické pole existuje okolo akéhokoľvek vodiča s prúdom a okolo akéhokoľvek striedavého elektrického poľa.
Fyzikálny význam: tok vodivého prúdu cez vodiče a zmeny elektrického poľa s časom vedú k vzniku vírivého magnetického poľa.
Integrálna forma: tok vektora elektrostatickej indukcie cez ľubovoľný uzavretý povrch, ktorý obklopuje náboje, je priamo úmerný celkovému náboju umiestnenému vo vnútri tohto povrchu.
Diferenciálna forma: tok indukčného vektora elektrostatického poľa z nekonečného elementárneho objemu je priamo úmerný celkovému náboju v tomto objeme.
Fyzikálny význam: zdrojom elektrického poľa je elektrický náboj.
Systém týchto rovníc môže byť doplnený o systém takzvaných materiálových rovníc, ktoré charakterizujú vlastnosti materiálového média vypĺňajúceho priestor:
