Zákony algebry kontaktných obvodov, Booleovská algebra

Analytický záznam štruktúry a prevádzkových podmienok reléových obvodov umožňuje vykonávať analytické ekvivalentné transformácie obvodov, to znamená transformáciou štruktúrnych vzorcov, hľadaním schém podobných ich prevádzke. Konverzné metódy sú špeciálne plne vyvinuté pre štruktúrne vzorce vyjadrujúce kontaktné obvody.

Pre kontaktné obvody sa používa matematický aparát algebry logiky, presnejšie jedna z jeho najjednoduchších odrôd, nazývaná propozičný počet alebo Booleova algebra (podľa matematika minulého storočia J. Boolea).

Výrokový počet bol pôvodne vyvinutý na štúdium závislosti (pravdivosti alebo nepravdivosti zložitých úsudkov o pravdivosti alebo nepravdivosti jednoduchých výrokov, z ktorých sa skladajú. Výrokový počet je v podstate algebra dvoch čísel, teda algebra v pričom každý jednotlivý argument a každá funkcia môže mať jednu z dvoch hodnôt.

To určuje možnosť použitia booleovskej algebry na transformáciu kontaktných obvodov, pretože každý z argumentov (kontaktov) zahrnutých v štruktúrnom vzorci môže mať iba dve hodnoty, to znamená, že môže byť uzavretý alebo otvorený a celá funkcia reprezentovaná štruktúrou vzorec môže vyjadrovať uzavretú alebo otvorenú slučku.

Booleovská algebra zavádza:

1) objekty, ktoré, ako v bežnej algebre, majú mená: nezávislé premenné a funkcie — na rozdiel od bežnej algebry však v booleovskej algebre môžu mať obidve iba dve hodnoty: 0 a 1;

2) základné logické operácie:

• logické sčítanie (alebo disjunkcia, logické OR, označené znamienkom ?), ktoré je definované nasledovne: výsledok operácie je 0 vtedy a len vtedy, ak sú všetky argumenty operácie rovné 0, inak je výsledok 1;

• logické násobenie (alebo zreťazenie, logické AND, označované ? alebo vôbec nešpecifikované), ktoré je definované nasledovne: výsledok operácie je 1 vtedy a len vtedy, ak sú všetky argumenty operácie rovné 1, inak výsledok je 0;

• negácia (alebo naopak, logické NIE, označené čiarou nad argumentom), ktorá je definovaná nasledovne: výsledok operácie má opačnú hodnotu ako argument;

3) axiómy (zákony Booleovej algebry), ktoré definujú pravidlá pre transformáciu logických výrazov.

Všimnite si, že každá z logických operácií môže byť vykonaná tak s premennými, ako aj s funkciami, ktoré sa budú ďalej nazývať booleovské funkcie... Pripomeňme si, že analogicky s obyčajnou algebrou má v booleovskej algebre operácia logického násobenia prednosť pred logickým operácia pridávania.

Booleovské výrazy sú tvorené kombináciou logických operácií s množstvom objektov (premenných alebo funkcií), ktoré sa nazývajú argumenty operácie.

Transformácia logických výrazov pomocou zákonov Booleovej algebry sa zvyčajne uskutočňuje s cieľom minimalizácie, pretože čím je výraz jednoduchší, tým je menšia zložitosť logického reťazca, ktorým je technická implementácia logického výrazu.

Zákony Booleovej algebry sú prezentované ako súbor axióm a dôsledkov. Tie sa dajú celkom jednoducho skontrolovať nahradením rôznych hodnôt premenných.

Technickou obdobou akéhokoľvek logického výrazu pre boolovskú funkciu je logická schéma... V tomto prípade sú premenné, od ktorých závisí boolovská funkcia, pripojené na externé vstupy tohto obvodu, hodnota booleovskej funkcie sa tvorí na externý výstup obvodu a každá logická operácia v logickom výraze je implementovaná logickým prvkom.

Pre každú množinu vstupných signálov na výstupe logického obvodu sa teda generuje signál, ktorý zodpovedá hodnote booleovskej funkcie tejto množiny premenných (ďalej budeme používať nasledujúcu konvenciu: 0 — nízka úroveň signálu , 1 — vysoká úroveň signálu).

Pri konštrukcii logických obvodov budeme predpokladať, že premenné sa privádzajú na vstup v parafázovom kóde (to znamená, že sú k dispozícii priame aj inverzné hodnoty premenných).

V tabuľke 1 sú uvedené konvenčné grafické označenia niektorých logických prvkov v súlade s GOST 2.743-91, ako aj ich zahraničné náprotivky.

Okrem prvkov, ktoré vykonávajú tri operácie Booleovej algebry (AND, OR, NOT), v tab. 1 znázorňuje prvky, ktoré vykonávajú operácie odvodené od hlavného:

— AND – NOT — negácia logického násobenia, nazývaná aj Schaeferov pohyb (označený |)

— ALEBO – NIE — negácia logického doplnku, nazývaná aj Peirceova šípka (označená ?)

Sériovým prepojením logických brán dohromady môžete implementovať akúkoľvek booleovskú funkciu.

Štrukturálne vzorce vyjadrujúce obvody relé vo všeobecnosti, t.j. obsahujúce symboly reagujúcich orlov, nemožno považovať za funkcie dvoch hodnôt vyjadrujúcich iba uzavretý alebo otvorený obvod. Preto pri práci s takýmito funkciami vzniká množstvo nových závislostí, ktoré presahujú hranice Booleovej algebry.

V Booleovej algebre existujú štyri páry základných zákonov: dve posunutia, dve kombinatorické, dve distributívne a dve zákonné inverzie. Tieto zákony stanovujú ekvivalenciu rôznych výrazov, to znamená, že berú do úvahy výrazy, ktoré sa môžu navzájom nahradiť, ako napríklad zámena identít v bežnej algebre. Ako symbol ekvivalencie berieme symbol, ktorý je rovnaký ako symbol rovnosti v bežnej algebre (=).

Platnosť zákonov Booleovej algebry pre kontaktné obvody bude stanovená uvažovaním obvodov zodpovedajúcich ľavej a pravej strane ekvivalentných výrazov.

Cestovné zákony

Na sčítanie: x + y = y + x

Schémy zodpovedajúce týmto výrazom sú znázornené na obr. 1, a.

Ľavý a pravý obvod sú normálne otvorené obvody, z ktorých každý sa zatvára, keď je spustený jeden z prvkov (X alebo Y), to znamená, že tieto obvody sú ekvivalentné. Pre násobenie: x ·y = y ·NS.

Schémy zodpovedajúce týmto výrazom sú znázornené na obr. 1b je zrejmá aj ich ekvivalencia.

Ryža. 1

Zákony kombinácie

Na doplnenie: (x + y) + z = x + (y + z)

Pre násobenie: (x ·y) ·z = x ·(y ·z)

Páry ekvivalentných obvodov zodpovedajúce týmto výrazom sú znázornené na obr. 2, a, b

Ryža. 2

Distribučné zákony

Násobenie verzus sčítanie: (x + y) +z = x + (y + z)

Sčítanie vs násobenie. x ·y + z = (x + z) · (y + z)

Schémy zodpovedajúce týmto výrazom sú znázornené na obr. 3, a, b.

Ryža. 3.

Ekvivalenciu týchto schém možno ľahko overiť zvážením rôznych kombinácií ovládania kontaktov.

Zákony inverzie

Po súčte: NS + c = NS·c

Pruh nad ľavou stranou výrazu je znak negácie alebo inverzie. Tento znak naznačuje, že celá funkcia má opačný význam vzhľadom na výraz pod znakom negácie. Nie je možné nakresliť diagram zodpovedajúci celej inverznej funkcii, ale je možné nakresliť diagram zodpovedajúci výrazu pod záporným znamienkom. Vzorec teda možno znázorniť pomocou diagramov znázornených na obr. 4, a.

Ryža. 4.

Ľavý diagram zodpovedá výrazu x + y a pravý diagram NS ·c

Tieto dva obvody sú v prevádzke proti sebe, a to: ak je ľavý obvod s nebudenými prvkami X, Y otvorený obvod, potom je pravý obvod uzavretý. Ak sa v ľavom okruhu pri spustení jedného z prvkov okruh zatvorí a v pravom okruhu sa naopak otvorí.

Keďže podľa definície záporného znamienka je funkcia x + y inverziou funkcie x + y, potom je zrejmé, že x + y = NS·in.

Čo sa týka násobenia: NS · c = NS + c

Zodpovedajúce schémy sú znázornené na obr. 4, b.

Translokačné a kombinačné a zákony a distributívny zákon násobenia vzhľadom na sčítanie (zodpovedajú podobným zákonom bežnej algebry).Preto v prípade transformácie štruktúrnych vzorcov v poradí sčítania a násobenia členov, umiestňovania členov mimo zátvorky a rozširovania zátvoriek môžete postupovať podľa pravidiel stanovených pre prácu s bežnými algebraickými výrazmi. Distributívny zákon sčítania vzhľadom na násobenie a zákony inverzie sú špecifické pre Booleovu algebru.