Ako zostrojiť vektorový diagram prúdov a napätí

Vektorové diagramy sú metódou grafického výpočtu napätí a prúdov v striedavých obvodoch, kde sú striedavé napätia a prúdy symbolicky (konvenčne) znázornené pomocou vektorov.

Metóda je založená na skutočnosti, že akékoľvek množstvo, ktoré sa mení podľa sínusového zákona (pozri — sínusové oscilácie), môže byť definovaná ako projekcia do zvoleného smeru vektora rotujúceho okolo svojho počiatočného bodu s uhlovou rýchlosťou rovnajúcou sa uhlovej frekvencii oscilácie indikovanej premennej.

Preto akékoľvek striedavé napätie (alebo striedavý prúd), ktoré sa mení podľa sínusového zákona, môže byť reprezentované pomocou takéhoto vektora rotujúceho s uhlovou rýchlosťou rovnajúcou sa uhlovej frekvencii zobrazeného prúdu a dĺžke vektora v určitej stupnica predstavuje amplitúdu napätia a uhol predstavuje počiatočnú fázu tohto napätia...

Berúc do úvahy elektrický obvodpozostávajúce zo sériovo zapojeného zdroja striedavého prúdu, odporu, indukčnosti a kondenzátora, kde U je okamžitá hodnota striedavého napätia a i je prúd v momente prúdu a U sa mení podľa sínusoidy (kosínus ) zákona, potom pre prúd môžeme napísať:

Podľa zákona zachovania náboja má prúd v obvode vždy rovnakú hodnotu. Preto napätie klesne na každom prvku: UR – cez aktívny odpor, UC – cez kondenzátor a UL – cez indukčnosť. Podľa Druhé Kirchhoffovo pravidlo, zdrojové napätie sa bude rovnať súčtu poklesov napätia na prvkoch obvodu a máme právo písať:

všimnite si toto podľa Ohmovho zákona: I = U / R, a potom U = I * R. Pre aktívny odpor je hodnota R určená výlučne vlastnosťami vodiča, nezávisí ani od prúdu, ani od času, preto prúd je vo fáze s napätím a môžete napísať:

Ale kondenzátor v AC obvode má reaktívny kapacitný odpor a napätie kondenzátora vždy zaostáva vo fáze s prúdom o Pi/2, potom píšeme:

cievka, indukčné, v obvode striedavého prúdu pôsobí ako indukčný odpor reaktancie a napätie na cievke je kedykoľvek pred prúdom vo fáze o Pi /2, preto pre cievku píšeme:

Teraz môžete napísať súčet poklesov napätia, ale vo všeobecnej forme pre napätie aplikované na obvod môžete napísať:

Je vidieť, že existuje určitý fázový posun spojený s reaktívnou zložkou celkového odporu obvodu, keď ním preteká striedavý prúd.

Keďže v obvodoch striedavého prúdu sa prúd aj napätie menia podľa kosínusového zákona a okamžité hodnoty sa líšia iba vo fáze, fyzici prišli v matematických výpočtoch na myšlienku považovať prúdy a napätia v obvodoch striedavého prúdu za vektory, pretože goniometrické funkcie možno opísať vektormi. Takže napíšme napätia ako vektory:

Metódou vektorových diagramov je možné odvodiť napríklad Ohmov zákon pre daný sériový obvod za podmienok pretekajúceho striedavého prúdu.

Podľa zákona zachovania elektrického náboja je prúd vo všetkých častiach daného obvodu v každom časovom okamihu rovnaký, nechajme teda bokom vektory prúdov, zostrojme vektorový diagram prúdov:

Nech je prúd Im vynesený v smere osi X — hodnota amplitúdy prúdu v obvode. Napätie aktívneho odporu je vo fáze s prúdom, čo znamená, že tieto vektory budú smerované spoločne, odložíme ich z jedného bodu.

Napätie v kondenzátore zaostáva Pi / 2 prúdu, preto ho umiestňujeme v pravom uhle nadol, kolmo na vektor napätia na aktívnom odpore.

Napätie cievky je pred prúdom Pi/2, preto ho umiestňujeme v pravom uhle nahor, kolmo na vektor napätia na aktívnom odpore. Povedzme pre náš príklad UL > UC.

Keďže máme čo do činenia s vektorovou rovnicou, pridáme vektory napätia na reaktívnych prvkoch a získame rozdiel. V našom príklade (predpokladali sme UL > UC) bude smerovať nahor.

Teraz pripočítajme vektor napätia k aktívnemu odporu a dostaneme podľa pravidla sčítania vektorov vektor celkového napätia. Keďže sme nabrali maximálne hodnoty, dostaneme vektor hodnoty amplitúdy celkového napätia.

Odkedy sa prúd zmenil podľa kosínusového zákona, zmenilo sa aj napätie podľa kosínusového zákona, ale s fázovým posunom. Medzi prúdom a napätím je konštantný fázový posun.

Poďme nahrávať Ohmov zákon pre celkový odpor Z (impedancia):

Z vektorových obrázkov podľa Pytagorovej vety môžeme napísať:

Po elementárnych transformáciách dostaneme výraz pre impedanciu Z obvodu striedavého prúdu pozostávajúceho z R, C a L:

Potom dostaneme výraz pre Ohmov zákon pre striedavý obvod:

Všimnite si, že najvyššia hodnota prúdu sa získa v obvode rezonancie za podmienok, kde:

Kosínus phi z našich geometrických konštrukcií vyplýva: