Prúdenie a cirkulácia vektorového poľa

Na základe materiálov prednášok Richarda Feynmana

Pri popise zákonov elektriny z hľadiska vektorových polí sa stretávame s dvoma matematicky dôležitými vlastnosťami vektorového poľa: tok a cirkulácia. Bolo by pekné pochopiť, čo sú tieto matematické pojmy a aký je ich praktický význam.

Na druhú časť otázky je ľahké odpovedať hneď, pretože koncepty toku a cirkulácie sú jadrom Maxwellove rovnice, na ktorom vlastne spočíva celá moderná elektrodynamika.

Napríklad zákon elektromagnetickej indukcie možno formulovať takto: cirkulácia elektrického poľa E pozdĺž uzavretej slučky C sa rovná rýchlosti zmeny toku magnetického poľa B cez povrch S ohraničený týmto slučka B.

V nasledujúcom texte celkom jednoducho opíšeme pomocou jasných príkladov kvapalín, ako sa matematicky určujú charakteristiky poľa, z čoho sa tieto charakteristiky poľa preberajú a získavajú.

Tok vektorového poľa

Na začiatok si okolo skúmanej oblasti nakreslíme určitú uzavretú plochu úplne ľubovoľného tvaru. Po zobrazení tejto plochy sa pýtame, či objekt skúmania, ktorý nazývame pole, preteká touto uzavretou plochou. Aby ste pochopili, o čo ide, zvážte jednoduchý tekutý príklad.

Povedzme, že skúmame rýchlostné pole určitej tekutiny. Pre takýto príklad má zmysel sa pýtať: prejde týmto povrchom za jednotku času viac tekutiny, ako pretečie do objemu ohraničeného týmto povrchom? Inými slovami, je rýchlosť odtoku vždy smerovaná primárne zvnútra von?

Výrazom "tok vektorovým poľom" (a pre náš príklad bude presnejší výraz "tok rýchlosti tekutiny") sa dohodneme na pomenovaní celkového množstva imaginárnej tekutiny, ktorá preteká povrchom uvažovaného objemu ohraničeného daným a uzavretý povrch (pre rýchlosť prietoku tekutiny, koľko tekutiny vyplýva z objemu za jednotku času).

V dôsledku toho sa tok cez povrchový prvok bude rovnať súčinu plochy povrchového prvku kolmou zložkou rýchlosti. Potom sa celkový (celkový) tok cez celý povrch bude rovnať súčinu priemernej normálovej zložky rýchlosti, ktorú budeme počítať zvnútra von, celkovým povrchom.

Teraz späť k elektrickému poľu. Elektrické pole, samozrejme, nemožno považovať za rýchlosť prúdenia nejakej kvapaliny, ale máme právo zaviesť matematický pojem prúdenia, podobný tomu, ktorý sme opísali vyššie ako prúdenie rýchlosti kvapaliny.

Len v prípade elektrického poľa možno jeho tok určiť priemernou normálovou zložkou intenzity elektrického poľa E. Okrem toho tok elektrického poľa možno určiť nie nevyhnutne cez uzavretý povrch, ale cez akýkoľvek ohraničený povrch. nenulovej oblasti S .

Obeh vektorového poľa

Každému je dobre známe, že pre väčšiu prehľadnosť môžu byť polia znázornené vo forme takzvaných siločiar, v každom bode ktorých sa smer dotyčnice zhoduje so smerom intenzity poľa.

Vráťme sa k analógii tekutiny a predstavme si rýchlostné pole tekutiny Položme si otázku: cirkuluje tekutina? To znamená, že sa pohybuje primárne v smere akejsi pomyselnej uzavretej slučky?

Pre väčšiu názornosť si predstavte, že kvapalina vo veľkej nádobe sa nejakým spôsobom pohybuje (obr. A) a my sme zrazu zmrazili takmer celý jej objem, no podarilo sa nám nechať objem nezmrazený v podobe rovnomerne uzavretej trubice, v ktorej nie je trenie kvapaliny o steny (obr. b).

Mimo tejto trubice sa kvapalina zmenila na ľad, a preto sa už nemôže pohybovať, ale vo vnútri trubice je kvapalina schopná pokračovať vo svojom pohybe za predpokladu, že prevláda hybnosť, ktorá ju poháňa napríklad v smere hodinových ručičiek (obr. °C). Potom sa súčin rýchlosti tekutiny v trubici a dĺžky trubice nazýva cirkulácia rýchlosti tekutiny.

Podobne môžeme definovať cirkuláciu pre vektorové pole, aj keď o poli opäť nemožno povedať, že je to rýchlosť čohokoľvek, napriek tomu môžeme definovať matematickú charakteristiku „cirkulácie“ pozdĺž obrysu.

Takže cirkuláciu vektorového poľa pozdĺž pomyselnej uzavretej slučky možno definovať ako súčin priemernej tangenciálnej zložky vektora v smere prechodu slučky — dĺžkou slučky.