Základy a zákony algebry logiky
Írsky matematik z polovice 19. storočia George Bull vyvinul algebru logiky ("Štúdium zákonov myslenia"). Preto sa nazýva aj algebra logiky booleovská algebra.
Tým, že algebra logiky dáva označenia písmen, vyjadruje operácie logických transformácií v akčných symboloch a používa pravidlá a axiómy stanovené pre tieto akcie, umožňuje, aby bol proces uvažovania pri riešení problému daného z hľadiska logiky príkazov úplne opísaný v algoritmoch. , teda mať matematicky napísaný program riešiaci tento problém.
Na označenie pravdivosti alebo nepravdivosti výrokov (to znamená na zavedenie hodnôt na hodnotenie výrokov) používa algebra logiky binárny systém, ktorý je v tomto prípade vhodný. Ak je výrok pravdivý, nadobúda hodnotu 1, ak je nepravdivý, nadobúda hodnotu 0. Na rozdiel od binárnych čísel logické 1 a 0 nevyjadrujú veličinu, ale stav.
Takže v elektrických obvodoch opísaných pomocou Booleovej algebry, kde 1 je prítomnosť napätia a 0 je jeho neprítomnosť, je dodávka napätí z niekoľkých zdrojov do jedného uzla obvodu (to znamená príchod niekoľkých jeho logických jednotiek). sa tiež zobrazuje ako logická jednotka, ktorá označuje nie celkové napätie v uzle, ale iba jeho prítomnosť.
Pri popise vstupných a výstupných signálov logických obvodov sa používajú premenné, ktoré nadobúdajú hodnoty iba logickej 0 alebo 1. Zisťuje sa závislosť výstupných signálov od vstupu logická operácia (funkcia)… Vstupné premenné označme X1 a X2 a výstup získaný logickou operáciou na nich y.
Premysli si to tri základné elementárne logické operácie, pomocou ktorých sa dajú popísať stále zložitejšie.
1. Operácia ALEBO – logické doplnenie:
Vzhľadom na všetky možné hodnoty premenných je možné definovať operáciu OR ako dostatočnosť aspoň jednej jednotky na vstupe na vytvorenie jednotky na výstupe. Názov operácie je vysvetlený sémantickým významom spojenia OR vo fráze: «Ak je OR jeden vstup ALEBO druhý je jeden, potom výstup je jeden.»
2. Operácia AND – logické násobenie:
Z uvažovania o úplnej množine hodnôt premenných je operácia AND definovaná ako potreba zhodovať sa so všetkými na vstupoch, aby sa na výstupe dostala jednotka: „Ak je AND jeden vstup a druhý je jedničky, potom výstup je jeden. «
3. Operácia NOT – logická negácia alebo inverzia. Označuje ho pruh nad premennou.
Pri obrátení sa hodnota premennej obráti.
Základné zákony logickej algebry:
1. Zákon nulovej množiny: súčin ľubovoľného počtu premenných zmizne, ak je niektorá z premenných nula, bez ohľadu na hodnoty iných premenných:
2. Zákon univerzálnej množiny — súčet ľubovoľného počtu premenných sa stane jednotkou, ak aspoň jedna z premenných má hodnotu jedna, bez ohľadu na ostatné premenné:
3. Zákon opakovania — opakované premenné vo výraze možno vynechať (inými slovami, v booleovskej algebre neexistuje umocňovanie a násobenie číselným koeficientom):
4. Zákon dvojitej inverzie — dvakrát vykonaná inverzia je prázdna operácia:
5. Zákon komplementarity — súčin každej premennej a jej inverznej hodnoty je nula:
6. Súčet každej premennej a jej recipročnej hodnoty je jedna:
7. Ochranné zákony — výsledok operácií násobenia a sčítania nezávisí od poradia, v ktorom premenné nasledujú:
8. Kombinované zákony — počas operácií násobenia a sčítania možno premenné zoskupovať v ľubovoľnom poradí:
9. Distribučné zákony — je dovolené uviesť celkový koeficient mimo zátvoriek:
10. Zákony absorpcie — uveďte spôsoby, ako zjednodušiť výrazy zahŕňajúce premennú vo všetkých faktoroch a pojmoch:
11. De Morganove zákony — inverzia súčinu je súčtom inverzií premenných:
inverzia súčtu je súčinom inverzií premenných:
